摘要:半導體晶體作為各類電子器件的基礎材料，它的發展對現代電子行業的發展起著重要的推動作用。為了探索生長高品質晶體的優化方案，建立了半浮區液橋的三維磁流體動力學模型，采用有限體積法數值研究了微重力環境下外加二極對非均勻旋轉磁場對液橋表面張力對流的控制作用。研究結果表明，由二極對非均勻旋轉磁場(7 mT， 50Hz)所產生的周向強迫攪拌作用，有效地提高了液橋的最大周向速度，同時抑制了液橋的最大軸向速度，該作用使無磁場作用下的三維液橋表面張力對流得到有效控制轉變為二維軸對稱定常流動。

半導體晶體是集成電路、激光器、光電器件等的主要基礎材料，它的革新對現代化工業的發展起著決定性的作用。各種晶體制備方法中，浮區法由于無坩堝容器接觸可以避免污染，是一種生長高純度晶體的優勢技術。重力環境下，一方面由重力引起的浮力流會導致晶體內產生微觀不均勻性(生長條紋);另一方面，由于靜壓力的作用使得浮區熔體具有足夠大的表面張力來維持熔區的穩定，該條件限制了生長晶體的尺寸。微重力環境下，由重力場引起的負面影響得到極大程度地降低，此時熱浮力流隨著重力的降低而極度衰減，浮區法也可以突破晶體尺寸的限制生長更大的晶體。然而，微重力環境下的浮區法晶體生長中，由非平衡表面張力驅動的表面張力流成為浮區熔體中的主要對流，也是生長高質量大尺寸單晶的關鍵性因素之一。

微重力環境下，低Prandtl(Pr)數的硅等半導體熔體在浮區中隨著Marangoni(Ma)數的逐漸增大，其對流會產生兩次失穩。相關研究報道該對流失穩會影響熔體組分的分布，導致生長晶體中微觀條紋的產生，影響生長晶體的質量。由于半導體熔體具有良好的導電性，外加磁場可以作為一種控制表面張力對流的有效手段。現有的磁場對流控制方法中，旋轉磁場由于其耗能小、控制效果明顯而倍受關注。

旋轉磁場根據其極對數的不同，可分為均勻旋轉磁場(含有一對南、北磁極)和非均勻旋轉磁場(二極對、三極對旋轉磁場)等。目前，浮區法結晶技術中旋轉磁場對流控制研究工作主要集中于均勻旋轉磁場。Dold等實驗研究了浮區法結晶技術中不同強度的均勻旋轉磁場對摻雜硅晶體中雜質條紋的影響，研究表明，均勻旋轉磁場作用下晶體中徑向雜質條紋分布更加均勻、更加對稱。其數值研究結果也表明，均勻旋轉磁場作用下熔體的三維非定常流動得到有效控制轉變為二維軸對稱流動。Witkowski and Walker數值研究了浮區熔體對流在不同強度的均勻旋轉磁場下的演化，研究報道了熔體對流由表面張力驅動占據主控制轉為旋轉磁場洛倫茲力占據主控制時，磁場強度的轉變區域。Walker對均勻旋轉磁場下的浮區熔體對流進行了線性穩定性分析，研究報道了任一旋轉磁場作用下都存在一個臨界Re數，超過該值，浮區熔體由軸對稱定常流動轉變為周期性振蕩流動。本課題組研究了微重力下均勻旋轉磁場對半浮區液橋表面張力對流的影響，結果表明均勻旋轉磁場可以有效地控制由表面張力增強而導致的熔體對流的兩次失穩。目前，非均勻旋轉磁場在垂直Bridgman等晶體技術方面的應用已有相關的報道，但是，其在浮區法晶體生長中的對流控制研究工作基本空白。

目前，外加旋轉磁場的對流控制模型主要包括無限長模型和有限長模型，有限長模型又包括有限長解析解模型和有限長-α模型。旋轉磁場無限長模型忽略了熔體流動與磁場的耦合，僅僅考慮到洛倫茲力的周向分量，文獻報道了采用該模型會使計算結果產生較大偏差。有限長解析解模型考慮了電勢對熔體流動的影響而忽略了熔體流動對電勢的影響，也僅保留了周向洛倫茲力。雖然由旋轉磁場所引起的周向洛倫茲力對熔體對流的影響占據主要作用，但其它方向的洛倫茲力分量也是存在的。Priede首次提出有限長-α模型，該模型考慮到旋轉磁場作用下熔體流動與外加磁場的耦合及洛倫茲力的所有分量。理論上來說，旋轉磁場有限長-α模型具有更高的求解精度。二維軸對稱條件下，Barz等采用有限長-α模型研究了橫向旋轉磁場對柱形熔體等熱對流的影響，得到的數值結果與實驗結果是一致的。

基于浮區法晶體生長中非均勻旋轉磁場對流控制研究工作鮮有的現狀，為了進一步完善外加旋轉磁場對浮區熔體的對流控制的理論研究，筆者引用了有限長-α模型的思想，建立了三維磁流體動力學模型，研究了微重力下外加二極對非均勻旋轉磁場對浮區熔體表面張力對流的控制作用。

1 物理和數學模型

半浮區液橋模型是研究浮區法晶體生長中熔體對流的一種簡化模型，該模型由上下兩個不同固定溫度的同心圓盤固壁和液柱自由表面組成。半浮區液橋模型可以捕捉到浮區法晶體生長中浮區熔體的主要流動特性，因此，該模型在浮區法晶體生長的研究中得到廣泛應用。本文所采用的圓柱型半浮區液橋模型如圖1(a)所示。液橋高度為H，半徑為R，其高徑比As=H/R=1;上下邊界分別為低溫和高溫圓形固壁(T_c 和 T_h)， ΔT = T_h - T_c > 0。由于浮區自由表面的動力學變形相對較小，在計算中忽略了自由表面動力學變形的影響，即假設計算過程中液橋是不變形的。液橋自由表面的表面張力假設為溫度T的線性函數，表示形式為:

σ = σ_0 - γ_T (T - T_0)

其中，σ_0是T_0溫度下的表面張力，γ_T是表面張力溫度系數(γ_T = -?σ/?T > 0)。

液橋內熔體流動與傳熱的控制方程包括連續性方程、動量方程和能量方程。動量方程中包括了由表面張力驅動的熱毛細力和外加旋轉磁場產生的洛倫茲力。本文采用有限長-α模型來描述外加二極對非均勻旋轉磁場。在該模型中，假設液橋處于隨時間變化的磁場B中，磁場可由磁矢勢A的旋度表示(B = ?×A)。對于微重力下半浮區液橋外加二極對非均勻旋轉磁場的對流控制問題，在柱坐標系(r， θ， z)下，磁場的磁矢勢A可表示為:

A = B_0 r^{p-1} [sin(pθ - ωt)e_z - cos(pθ - ωt)e_θ]

其中B_0為旋轉磁場強度幅值，ω為旋轉磁場旋轉角速度， ω=2πf (f為旋轉頻率)， p為旋轉磁場的極對數(p=2)， e_z、e_θ分別表示z、θ方向的單位矢量。本文所采用的二極對非均勻旋轉磁場強度B_0為7 mT，頻率為50 Hz。該旋轉頻率使得磁場趨膚深度遠大于液橋的半徑，因此，可以假設該非均勻旋轉磁場滲透到整個液橋熔區而不發生改變。